从零开始微积分:高三的你如何计算一头猪的质量

2020年1月7日   |   by admin

在接触微积分以前,我学习数学和物理的兴趣几乎被一套一套的试卷所湮灭。进入大学,理工科的第一门课就是微积分,也叫高等数学。可以说,微积分是大学里第一门彻底改变我世界观的学问。微积分对客观世界精准的刻画和控制令人叹服。

虽然这是一门伟大的学问,但是它对初学者却并不是很友好的。按照教科书的安排,需要先介绍抽象的极限和微分,尤其是违背常人思维习惯的“\epsilon - \delta精确描述”语言云云,陡峭的学习曲线把很多小白挡在微积分门外。而实际上,微积分是为了解决物理问题而出现的数学工具,学的时候直接上积分更贴近实用。

考虑一个计算一把椅子的重心的例子,微元法,密度不均匀。

\rho(x,y,z)

xm_x代表重心

在飞机上取出一个很小很小的零件,知道了它的密度,轻松地计算出它的质量,把很多很多小块加和就得到了质量。

在这个过程中你需要用到\Delta x,还有dx,这两个东西长得差不多,却有着本质区别,我们不得不提到极限的概念。

当你用\Delta x的时候,你选取的一小块飞机碎片是一个看得见摸得着的东东,而dx是一个无限小的概念,只有无限小,才能无限精确。

简简单单的一个d,威力很大,它代表着“微分”,所谓dx,就是指变量x的微分。微分的出现,原因是从质量到密度的变化的必然需要。

质量=密度\times体积

一小块质量=平均密度\times体积

这种思路容易走入死胡同,正确的思路是

质量=很多小块的质量相加

每一小块的密度变化不那么大,不会出现跳跃,你每次只是在原来的结果上多加上那么一丢丢,just one piece!

每增加一块,质量增加多少嘞,质量增加也就是因为体积增加而引起的质量增加,即\Delta M=M(V+\Delta V) - M(V)

上面这个东西是因为体积V的变化而引起的质量M的变化,这个东西是衡量增加的这块体积的成色的最初指标。

在猪头上切还是在肋板上切,得到的相同大小的肉质量不一样,要衡量和加总计算不同地方的肉,我们需要将上面的\Delta M除以\Delta V,在最后对它们每一块\Delta V求和。

每一块的形式如下

\frac{M(V+\Delta V)-M(V)}{\Delta V}\Delta V

实际上在\Delta M中会有一部分实在是占比太小了,而对计算结果影响很小,下面我们要引入无穷小的概念来实现这种取舍。

在数学世界里,无穷小也是可以比大小的,比如1/x就比1/x^2大,因为随着x变大,后者更快地变小。在求和的过程里,因为有些无穷小实在是不争气,它们太小了,所以就可以直接扔掉。这里1/x^2就比1/x的更高阶。为了方便,一切x的高阶无穷小全都可以写成o(x)

我们下面对猪进行庖丁解猪,切下的每一块肉的内部质量质量也是有一定变化的,猪肉毕竟是不均匀的。这个时候我们要描述一块肉的重量还可能需要进行大幅度的近似。

然而,当我们刀工足够好,切下来的肉块足够小,肉块也更加均匀,那些在肉块边缘,随着位置呈现二次方、三次方……变化的质量会变得越来越不重要,因为肉块在变小,它们也变小得太快太快了。最后对肉块求和的时候它们比随着位置呈现一次方变化的质量小得太多了,就可以完全不计算在内了。

在上面的概念中我们其实用到了函数的泰勒展开式,任何一个函数都有它的按照C_0+C_1x+C_3x^2+...这样的形式展开,这里的系数有时候是零,上面的质量M以体积V做变量进行展开之后,就可以解释为什么没有常数项了。

在上面的分析中,我们介绍得无穷小的概念可以派上用场了,

M(V+\Delta V)-M(V)=C_1  \Delta V+o(\Delta V)

这里的C_1是一阶导数,一次方程中的斜率k,代表着函数随着自变量变化最质朴的形式。

上面不知不觉中,已经定义了微分,dM(V)=C_1 dV+o(dV)C_1 dV这一项决定着dM(V)的发展形式,称为线性主部。在对V的求和中只有这一项才足够大,足够对最终的结果产生影响。

所以最终猪的质量就可以写成\lim_{\Delta V \to 0} \sum \Delta M=\int dM

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